Ten hoogste één

Nu moeten we nog laten zien dat alléén $\alpha$ aan de gestelde eisen voldoet. Dat doen we door te laten zien dat de verzameling van de geschikte getallen diameter nul heeft; dat betekent dat er maar één getal in past.

Neem twee rationale getallen $p$ en $q$ in het interval $(1,2)$ met $p<\sqrt3<q$. Het verschil $2^q-2^p$ is gelijk aan $2^p(2^{q-p}-1)$. Op het interval $(0,1)$ geldt voor elke rationaal getal $r$ dat $2^r\le1+r$ (zie paragraaf 9). Dit kunnen we gebruiken om $2^q-2^p$ af te schatten:

$$2^q-2^p\le2^p(q-p)<4(q-p)$$

de laatste ongelijkheid geldt omdat $p<2$.

Hiermee kunnen we aantonen dat de diameter van de verzameling der geschikte getallen inderdaad nul is.

Om, bijvoorbeeld, te laten zien dat de diameter kleiner dan $10^{-6}$ is passen we de methode uit de Pythagoras van juni 2004 toe om de eerste zeven cijfers van $\sqrt3$ achter de komma te vinden. We vinden dat $p<\sqrt3<q$, waarbij $p=1{,}7320508$ en $q=1{,}7320509$. Ook geldt $q-p=10^{-7}$ en dus

$$2^q-2^p<4(q-p)<4/10^7<10^{-6}.$$

Door dit voor steeds betere benaderingen van $\sqrt3$ te herhalen vinden we dat de diameter kleiner is dan elke positieve grens die we maar stellen; de diameter is dus nul.