Andere grondtallen

Voor elk getal $a>1$ kunnen we op dezelfde manier als voor $2$ de functie $x\mapsto a^x$ definiëren. Wel verloopt het bewijs dat er precies één geschikte waarde voor $a^x$ is als $x$ geen rationaal getal is wat anders. Als je in inzet 2 overal $2$ door $a$ vervangt krijg je $\sqrt[n]{a^k}\le\frac1n(ka+n-k)$; na vereenvoudiging van de rechterkant kun je concluderen dat $a^{\frac kn}\le 1+\frac kn(a-1)$. Bij het bepalen van $a^{\sqrt3}$ neem je weer $p<q$ in het interval $(1,2)$. Dan volgt dat $a^q-a^p=a^p(a^{q-p}-1)\le a^p(a-1)(q-p)<(a^3-a)(q-p)$. Hiermee kan worden aangetoond dat er maar één getal geschikt is om $a^{\sqrt3}$ te zijn.

Als $a<1$ dan gebruiken we $1/a$ om $a^x$ te definiëren: we zetten $a^x=1/(1/a)^x$.