Negatieve grondtallen

Nu we toch bezig zijn kunnen we ook wel $a^x$ voor negatieve $a$ proberen af te spreken. Wie dat al eens geprobeerd heeft weet dat dat eigenlijk hopeloos is. We bekijken het geval $a=-2$. Voor gehele exponenten gaat alles goed: $(-2)^n$ is het product van $n$ factoren $-2$ als $n>0$ en het product van $-n$ factoren $-\frac12$ als $n<0$; ook de afspraak $(-2)^0=1$ gaat zonder problemen.

Bij rationale getallen gaat bijna alles mis wat maar mis kan gaan. Soms lukt het $(-2)^p$ af te spreken en soms ook niet. Bijvoorbeeld met $p=\frac13$: omdat $\bigl(-\sqrt[3]2\bigr)^3=-2$ lijkt $(-2)^{\frac13}=-\sqrt[3]2$ een goede afspraak. Maar ..., $\frac13=\frac26$ en er is geen $x$ met $x^6=-2$ (want $x^6$ is altijd positief), dus onze oude afspraak dat $(-2)^{\frac26}=\bigl(\sqrt[6]{-2}\bigr)^2$ kunnen we niet gebruiken. Dit euvel kunnen we nog verhelpen door een breuk als $\frac26$ eerst te vereenvoudigen tot $\frac13$ en af te spreken dat $(-2)^{\frac26}=(-2)^{\frac13}$ maar we komen natuurlijk toch in de problemen met $p=\frac12$; omdat er geen $x$ is met $x^2=-2$ kunnen we $(-2)^{\frac12}$ in het geheel niet afspreken.

We blijven dus zitten met een functie die we voor de rationale getallen maar half kunnen definiëren, laat staan voor getallen die niet als breuk te schrijven zijn zoals $\sqrt3$ en $\pi$. We nemen daarom maar een rigorueze beslissing: voor negatieve $a$ definiëren we de functie $x\mapsto a^x$ niet.