De logaritme

Stel je hebt een willekeurig getal $b>0$. Hoe vind je dan een getal $a$ met $2^a=b$? We nemen eerst aan dat $b>1$ en maken een verzameling $A$ door daar alle $x$ met $2^x<b$ in te stoppen. De verzameling $A$ is niet leeg, immers $2^0=1<b$. De verzameling $A$ is ook naar boven begrensd: neem maar een natuurlijk getal $k$ met $k>b$. Voor natuurlijke getallen is $2^k>k$ niet moeilijk aan te tonen. Omdat $x\mapsto 2^x$ strikt stijgend is volgt dat $k$ een bovengrens voor $A$ is, immers $x\ge k$ èn $x\in A$ kunnen niet samengaan: als $x\ge k$ dan $2^x\ge2^k>k>b$, dus $x\notin A$.

Zoals we al in herinnering brachten: $\R$ is volledig, dus heeft elke begrensde niet-lege verzameling een kleinste bovengrens. Onze verzameling A heeft dus een kleinste bovengrens, laten we die $a$ noemen. We beweren dat $2^a=b$.

We kiezen natuurlijke getallen $m$ en $n$ met $m<a<n$, waarbij $m$ zo groot mogelijk is en $n$ zo klein mogelijk. In paragraaf 4 wordt aangetoond dat $\mathopen \vert 2^x-2^a\mathclose \vert<2^n\mathopen \vert x-a\mathclose \vert$ als $m<x<n$.

Voor elk positief getal $\varepsilon$ dat kleiner is dan $a-m$ geldt $2^a<2^{a-\varepsilon}+2^n\varepsilon<b+2^n\varepsilon$, en dus $2^a\le b$. Evenzo volgt $2^a>2^{a+\varepsilon}-2^n\varepsilon>b-2^n\varepsilon$ als $\varepsilon<n-a$, en dus $2^a\ge b$. Conclusie $2^a=b$. Als $b<1$ vinden we eerst $a$ met $2^a=\frac1b$, dan geldt $2^{-a}=b$.

Samengevat: voor elk positief getal $b$ bestaat precies één getal $a$ met $2^a=b$; dat getal heet de logaritme in basis $2$ van $b$ en we schrijven $a={}^2\!\log b$.

Opgave. Toon aan dat ${}^2\!\log (x\times y)={}^2\!\log x+{}^2\!\log y$ voor elke positieve $x$ en $y$.

Opgave. Toon aan: als $a>0$ en als $p$ een breuk is dan geldt ${}^2\!\log (a^p)=p\times{}^2\!\log a$.