Andere grondtallen

In het januarinummer is ook geschetst hoe je de functie $x\mapsto a^x$ voor alle $a$ kunt definiëren. Dat kan ook met behulp van alleen $2^x$ en ${}^2\!\log x$. In de opgaven hebben we gezien dat ${}^2\!\log (a^p)=p\times{}^2\!\log a$ als $a>0$ en als $p$ een breuk is. Dit betekent dat

$$a^p=2^{p\times{}^2\!\log a}.$$

Omdat $2^x$ en de logaritme stijgende functies zijn kunnen we inzien dat voor alle andere $x$ die formule ook moet gelden, dus

$$a^x=2^{x\times{}^2\!\log a}.$$

Dus, bijvoorbeeld, $\pi^\pi=2^{\pi\times{}^2\!\log \pi}$.

Nu krijgen we ook voor elke $a$ een logaritmische functie: ${}^a\!\log q=p$ betekent $a^p=q$. Die logaritmen zijn allemaal in elkaar uit te drukken. Dat gaat als volgt: uit de definite volgt: als $q=a^p$ dan ook $q=2^{p\times{}^2\!\log a}$, en dus ${}^2\!\log q=p\times{}^2\!\log a$. Maar $p={}^a\!\log q$, dus als we de factoren omwisselen krijgen we de fraaie betrekking

$${}^2\!\log q={}^2\!\log a\times{}^a\!\log q$$