HOVO 2024: Oneindig in de Wiskunde
De meeste practische informatie staat op
de website van de HOVO Leiden.
Aanbevolen literatuur
- Leon van den Broek en Arnout van Rooij:
Blik op Oneindig. Zebrareeks 25 (2007).
- Een aardig boekje waar we in de cursus op voort zullen bouwen.
- Lev Bukovský, Eva Coplakova, en Klaas Pieter Hart:
Verzamelingen en van alles eromheen.
(Epsilon 96, Epsilon-uitgaven 2022).
- Een inleiding in de Verzamelingenleer.
-
Verzamelingenleer
- Een cursus Verzamelingenleer, gegeven in Leiden tussen 2007 en 2015
Inhoud
- 10 april: Wat is Oneindig?
- We gaan op zoek een wiskundige definitie van het begrip
`oneindige verzameling', en dus tegelijkertijd van het begrip
`eindige verzameling' want het éne is het tegengestelde van
het andere: `oneindig' is `niet eindig', en `eindig' is `niet oneindig'.
Het is nog niet zo eenvoudig een wiskundig bruikbare definitie
te geven: zinnen waar woorden als `einde', `begrensd', enzovoort
voorkomen moeten vermeden worden.
Materiaal:
- De slides
- Aantekeningen bij
het college.
- Bernard Bolzano,
Paradoxien de Unendlichen,
Der Philosophischen Bibliothek Band 99, Leipzig 1851.
(
Engelse vertaling)
- Richard Dedekind,
Was sind und was sollen die Zahlen?,
Braunsweig, Vieweg 1988
Engelse vertaling in
Essays on
the theory of numbers (Project Gutenberg).
- George van Hal,
Alles maken uit niets,
NWT Magazine, Februari 2013.
(Met dank aan de schrijver en
New Scientist.)
- Voor wie echt een oneindige, Dedekind-eindige verzameling wil
zien: zie de cursus
Set Theory 2019, in de eerste twee colleges wordt het
werk gedaan.
- 17 april: Verschillende soorten oneindig
- Galileo Galilei en Bernard Bolzano zagen dat oneindige verzamelingen
echte deelverzamelingen konden hebben met `evenveel' elementen
als de verzameling zelf, maar deden naar niet veel mee.
Georg Cantor vatte de koe bij de horens en gaf een duidelijke definitie
voor `evenveel elementen' in de context van oneindige verzamelingen
en ontdekte dat de verzamelingen der natuurlijke en reële
getallen niet `evenveel' elementen hebben.
Dit was de geboorte van een nieuwe tak van wiskunde:
de Verzamelingenleer.
Het is dit jaar 150 jaar geleden dat het artikel verscheen met daarin
het bewijs dat er geen koppeling bestaat tussen de
verzamelingen der natuurlijke en die der (positieve) reële getallen.
We bekijken de oorspronkelijke bewijzen van deze stelling, en verdere
ontwikkelingen.
Materiaal:
- 24 april: Diagonaalargument en de Continuümhypothese
- We gaan zien dat \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}^2\) even groot zijn
en dat er geen grootste oneindigheid is.
Dan bekijken we een vraag die Cantor zichzelf stelde, en dacht op
te kunnen lossen, over het vergelijken van deelverzamelingen van
de reële rechte \(\mathbb{R}\).
Hij dacht dat er slechts twee mogelijkheden waren voor oneindige
deelverzamelingen: even groot als de verzameling der natuurlijke
getallen\(\mathbb{N}\) of even groot als \(\mathbb{R}\).
Materiaal:
- De slides
- Aantekeningen bij
het college.
- Georg Cantor,
Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre
Jahresbericht der Deutschen Mathematischen Vereinigung
1 (1890-91) 75--78.
Het diagonaalargument.
Een recensie
in Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik
- K. P. Hart,
Cantors Diagonaalargument.
Nieuw Archief voor Wiskunde, 16, nummer 1, (2015), 40--43.
- K. P. Hart,
De ContinuümHypothese.
Nieuw Archief voor Wiskunde, 10, nummer 1, (2009), 33--39.
-
Two Key Mathematics Questions Answered After Quarter Century
New York Times, 14 november 1963.
- 15 mei: \(\infty\)
- Het symbool \(\infty\) werd (voorzover wij weten) voor het eerst
door John Wallis gebruikt in
De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus.
Het is één van de minst begrepen symbolen in de wiskunde.
We bekijken een paar van de vele interpretaties die \(\infty\) gekregen
heeft en hoe men daar mee om kan gaan.
- 22 mei: Oneindig veel getallen optellen
- Hier komen de beide `oneindigheden' bij elkaar.
In het begin van de Analyse probeerde men waarden aan oneindige sommen
toe te kennen; dat gaf soms merkwaardige uitkomsten.
In de 19de eeuw werd wat orde in de chaos geschept met preciese
definities van de sommen en aanverwante uitdrukkingen.
- 29 mei: \(\pi\) en andere irrationale constanten
- Veel bekende getallen als \(\pi\), \(\mathrm{e}\), \(\sqrt2\),
\(\ldots\) zijn gedefinieerd als oneindige sommen.
En die definities worden gebruikt om de irrationaliteit van die
getallen aan te tonen.
Extra leesmateriaal
Niet-meetbare verzamelingen
In de Scientific American van 18-04-2024 staat een stuk over niet-meetbare
deelverzamelingen van \(\mathbb{R}\).
Het stuk legt duidelijk uit wat het probleem is: aan elke deelverzameling
van \(\mathbb{R}\) een reƫel getal, de maat, toekennen.
Hierbij moet aan een paar eisen worden voldaan: intervallen krijgen hun
lengte als maat (de maat van \([a,b]\) is gelijk aan \(b-a\)),
als een verzameling verschoven wordt verandert de maat niet,
en maten tellen op als disjuncte verzamelingen verenigd worden.
In 1905 gaf G. Vitali een voorbeeld van een deelverzameling
van \(\mathbb{R}\) waar geen maat aan toegekend kan worden.
- Hier is het artikel,
met een goede beschrijving van de constructie en een uitleg van het
niet-meetbaar zijn.
De reden dat ik het stuk hier plaats is de stiekeme toepassing van het
Keuzeaxioma; zoek die toepassing maar eens op.
- Hier is het oorspronkelijke artikel
van Vitali.
Het is in het Italiaans, maar toch wel te lezen.
In de laatste alinea is Vitali eerlijker dan het andere stuk.
Daar schrijft hij: om de constructie van de verzameling G0
volledig te maken kunnen we een welordening van \(\mathbb{R}\) gebruiken.
De conclusie in de laatste zin is dan ook:
toekenning van een maat aan alle deelverzamelingen van \(\mathbb{R}\)
en het welordenen van \(\mathbb{R}\) kunnen niet samengaan.
K_dot_P_dot_Hart_at_TUDelft_dot_nl
Last modified: Sunday 28-04-2024 at 12:44:42 (CEST)