AM3590: Topologie (2020-2021)

Colleges aan de keukentafel

De topologie van de Euclidische ruimten ${\mathbb{R}}^n$

2020-09-01: problemen aan het eind van de 19de eeuw

Het eerste college, over de bijectie die Cantor maakte tussen het eenheidsinterval en het eenheidsvierkant en Peano's vlakvullende kromme.
Leesmateriaal

• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'
• Georg Cantor: Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre (1877)
• Guiseppe Peano: Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane (1890)

2020-09-04: het begrip dimensie

De grote vraag aan het eind van de 19de eeuw: kunnen $[0,1{]}^m$ en $[0,1{]}^n$ homeomorf zijn als $m\ne n$? Met behulp van het begrip `dimensie' gaan we laten zien dat dat niet zo is.
Leesmateriaal

• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'
• Georg Cantor: Ueber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten , Mathematische Annalen, XX (1882) 113--122

2020-09-08: meer over dimensie

Wat nul-dimensionaal betekent; $\dim [0,1]=1$; op weg naar $\dim [0,1{]}^n=\dim {\mathbb{R}}^n$ met de Aftelbare-Gesloten-Somstelling.
Leesmateriaal

• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'

2020-09-11: nog meer over dimensie

Het bewijs van de Aftelbare-Gesloten-Somstelling; $\dim [0,1{]}^n\le n$; wat voldoende èn nodig is voor $\dim [0,1{]}^n\ge n$.
Leesmateriaal

• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'

2020-09-15: Op weg naar $\dim [0,1{]}^n\ge n$

Een bewijs dat $\dim [0,1{]}^n\ge n$ equivalent is met de Dekpuntstelling van Brouwer. Definities van simplices en barycentrische coördinaten.
Leesmateriaal

• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'

2020-09-18: simplices, barycentrische coördinaten, en onderverdelingen

Allerlei noodzakelijke kennis over simplices.
Leesmateriaal

• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'

2020-09-22: meer over barycentrische onderverdelingen

Een bewijs dat de barycentrische onderverdeling inderdaad een onderverdeling is; over de ligging van $k-1$-simplices in de onderverdeling
Leesmateriaal

• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'

2020-09-25: Werkcollege

Het schoolbord

2020-09-28: Het Lemma van Sperner

Over de maaswijdte van barycentrische onderverdelingen en een bewijs van het Lemma van Sperner.
Leesmateriaal:

• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'

2020-10-02: De dekpuntstelling van Brouwer

Een bewijs van de Dekpuntstelling van Brouwer, en dus van $\dim [0,1{]}^n\ge n$. Op weg naar een zwakke vorm van Invariantie van Gebied: als $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ dan geldt $\dim A<n$ dan en slechts als het inwendige van $A$ leeg is.
Leesmateriaal:

• Het `schoolbord'
• Knaster, Kuratowski, Mazurkiewicz: Ein Beweis des Fixpunktsatzes für $n$-dimensionale Simplexe: Het bewijs van de Dekpuntstelling zoals dat op college gedaan is.

2020-10-06: zwakke Invariantie van Gebied

Een bewijs van: "als $A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ dan geldt $\dim A<n$ dan en slechts als het inwendige van $A$ leeg is". Bijna, een laatste stuk ontbreekt nog.
Leesmateriaal:

-
• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'
• L. E. J. Brouwer: Some remarks on the coherence type $\eta$, over aftelbare dichte deelverzamelingen van ${\mathbb{R}}^n$.

Algemene topologie

2020-10-09: Invariantie van Gebied en Algemene Topologie

Over homeomorfismen tussen dichte deelverzamelingen van ${\mathbb{R}}^n$ en de definitie van topologische ruimten. Leesmateriaal:

• Aantekeningen van vorig jaar
• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'

2020-10-13: afgeleide begrippen, basis

Over afgeleide begrippen: afsluiting, inwendige, rand, verdichtingspunt, dichte verzameling, separabiliteit. Verder een begin met het maken van topologiën: basis. Leesmateriaal:

• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'

2020-10-16: basis, lokale basis, subbasis

Basis, lokale basis, eerste en tweede aftelbaarheidsaxioma, separabiliteit. Subbasis. Leesmateriaal:

• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'

2020-10-27: afbeeldingen: continu, open, gesloten, quotiënt

Continue afbeeldingen, open afbeeldingen, gesloten afbeeldingen en quotiëntafbeeldingen Leesmateriaal:

• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'

2020-10-30: Scheidingseigenschappen

Punten scheiden: $T_0$, $T_1$, en $T_2$ (Hausdorff). Punten en gesloten verzamelingen scheiden: $T_3$ en regulariteit Leesmateriaal:

• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'

2020-11-03: Quotiëntruimten en normaliteit

Quitiëntruimten, constructie en voorbeelden; de scheidingseigenschap $T_4$ en normaliteit: karakteriseringen en voorbeelden. Leesmateriaal:

• Aantekeningen van vorig jaar
• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'

2020-11-06: Eerste uur en tweede uur

Normaliteit: Nietmytzki-vlak is niet normaal, Categoriestelling van Baire. Regulier plus aftelbare basis impliceert normaal. Leesmateriaal:

• Het `schoolbord'

2020-11-10: Metrizeringsstelling van Urysohn

Normaliteit: Nietmytzki-vlak is niet normaal, Categoriestelling van Baire, Lemma van Urysohn. Regulier plus aftelbare basis impliceert metrizeerbaar. Leesmateriaal:

• Aantekeningen van vorig jaar
• Aantekeningen van vorig jaar
• Het `schoolbord'

2020-11-17: Het eerste uur en het tweede uur

Over de radiale topologie in het vlak: deze is wel Hausdorff maar niet regulier (en daar is de Categoriestelling van Baire bij nodig). Leesmateriaal:

• Het `schoolbord'

2020-11-19: Compactheid

De definitie van compactheid, voorbeelden, eenvoudige eigenschappen, compacte Haudorffruimten zijn normaal. Leesmateriaal:

• Oude aantekeningen
• Het `schoolbord'

2020-11-24: Convergentie van filters en compactheid

Definitie van filters en ultrafilters. Convergentie van filters, en samenhang met continuïteit en afsluiting. Karakterizering van compactheid met behulp van filters. Leesmateriaal:

• Oude aantekeningen
• Het `schoolbord'

2020-11-26: Ultrafilters, Keuzeaxioma

Compactheid en ultrafilters. De Ultrafilterstelling. Het KeuzeAxioma, de Welordeningsstelling en het Lemma van Zorn. Producttopologie voor twee factoren. Leesmateriaal:

• Oude aantekeningen
• Oude aantekeningen
• Het `schoolbord'
• Een lezing (voor studenten) over het KeuzeAxioma

2020-12-01: Producttopologie voor een product van twee ruimten

Bewijs dat de producttopologie de `juiste' eigenschappen heeft: continuïteit en convergentie versus coördinaatsgewijze continuïteit en convergentie. Het product van twee compacte ruimten is weer compact; een ruimte is compact desda elke projectie langs de ruimte een gesloten afbeelding is. De `lage' scheidingseigenschappen zijn productief; normaliteit niet. Leesmateriaal:

• Oude aantekeningen
• Oude aantekeningen
• Het `schoolbord'

2020-12-03: De stelling van Tychonoff

De producttopologie voor willekeurig veel ruimten. De `lage' scheidingseigenschappen zijn productief; normaliteit niet. De stelling van Tychonoff. Bewijs dat die stelling equivalent is met het Keuzeaxioma. Leesmateriaal:

• Oude aantekeningen
• Het `schoolbord'

2020-12-08: De stelling van Arzelà en Ascoli, I

Een karakterisering van compactheid van verzamelingen continue functies. Deelverzamelingen van $C(X,\mathbb{R})$ voor compacte $X$. Leesmateriaal:

• Oude aantekeningen
• Het `schoolbord'

2020-12-10: De stelling van Arzelà en Ascoli, II

Nu voor lokaal compacte $X$: de compact-open topologie en de topologie van uniforme convergentie op compacte verzamelingen. Toepassing: De Stelling van Montel over compactheid van verzamelingen analytische functies. Leesmateriaal:

• Het `schoolbord'
• Oude aantekeningen
• Oude aantekeningen (Stelling van Montel)
• Oude aantekeningen (Afbeeldingsstelling van Riemann, Existentiestelling voor differentiaalvergelijkingen)