AM3590: Topologie (2020-2021)

Colleges aan de keukentafel

De topologie van de Euclidische ruimten \(\mathbb{R}^n\)

2020-09-01: problemen aan het eind van de 19de eeuw
Het eerste college, over de bijectie die Cantor maakte tussen het eenheidsinterval en het eenheidsvierkant en Peano's vlakvullende kromme.
Leesmateriaal
2020-09-04: het begrip dimensie
De grote vraag aan het eind van de 19de eeuw: kunnen \([0,1]^m\) en \([0,1]^n\) homeomorf zijn als \(m\neq n\)? Met behulp van het begrip `dimensie' gaan we laten zien dat dat niet zo is.
Leesmateriaal
2020-09-08: meer over dimensie
Wat nul-dimensionaal betekent; \(\dim[0,1]=1\); op weg naar \(\dim[0,1]^n=\dim\mathbb{R}^n\) met de Aftelbare-Gesloten-Somstelling.
Leesmateriaal
2020-09-11: nog meer over dimensie
Het bewijs van de Aftelbare-Gesloten-Somstelling; \(\dim[0,1]^n\le n\); wat voldoende èn nodig is voor \(\dim[0,1]^n\ge n\).
Leesmateriaal
2020-09-15: Op weg naar \(\dim[0,1]^n\ge n\)
Een bewijs dat \(\dim[0,1]^n\ge n\) equivalent is met de Dekpuntstelling van Brouwer. Definities van simplices en barycentrische coördinaten.
Leesmateriaal
2020-09-18: simplices, barycentrische coördinaten, en onderverdelingen
Allerlei noodzakelijke kennis over simplices.
Leesmateriaal
2020-09-22: meer over barycentrische onderverdelingen
Een bewijs dat de barycentrische onderverdeling inderdaad een onderverdeling is; over de ligging van \(k-1\)-simplices in de onderverdeling
Leesmateriaal
2020-09-25: Werkcollege
Het schoolbord
2020-09-28: Het Lemma van Sperner
Over de maaswijdte van barycentrische onderverdelingen en een bewijs van het Lemma van Sperner.
Leesmateriaal:
2020-10-02: De dekpuntstelling van Brouwer
Een bewijs van de Dekpuntstelling van Brouwer, en dus van \(\dim[0,1]^n\ge n\). Op weg naar een zwakke vorm van Invariantie van Gebied: als \(A\subseteq\mathbb{R}^n\) dan geldt \(\dim A < n\) dan en slechts als het inwendige van \(A\) leeg is.
Leesmateriaal:
2020-10-06: zwakke Invariantie van Gebied
Een bewijs van: "als \(A\subseteq\mathbb{R}^n\) dan geldt \(\dim A < n\) dan en slechts als het inwendige van \(A\) leeg is". Bijna, een laatste stuk ontbreekt nog.
Leesmateriaal:

Algemene topologie

2020-10-09: Invariantie van Gebied en Algemene Topologie
Over homeomorfismen tussen dichte deelverzamelingen van \(\mathbb{R}^n\) en de definitie van topologische ruimten. Leesmateriaal:
2020-10-13: afgeleide begrippen, basis
Over afgeleide begrippen: afsluiting, inwendige, rand, verdichtingspunt, dichte verzameling, separabiliteit. Verder een begin met het maken van topologiën: basis. Leesmateriaal:
2020-10-16: basis, lokale basis, subbasis
Basis, lokale basis, eerste en tweede aftelbaarheidsaxioma, separabiliteit. Subbasis. Leesmateriaal:
2020-10-27: afbeeldingen: continu, open, gesloten, quotiënt
Continue afbeeldingen, open afbeeldingen, gesloten afbeeldingen en quotiëntafbeeldingen Leesmateriaal:
2020-10-30: Scheidingseigenschappen
Punten scheiden: \(T_0\), \(T_1\), en \(T_2\) (Hausdorff). Punten en gesloten verzamelingen scheiden: \(T_3\) en regulariteit Leesmateriaal:
2020-11-03: Quotiëntruimten en normaliteit
Quitiëntruimten, constructie en voorbeelden; de scheidingseigenschap \(T_4\) en normaliteit: karakteriseringen en voorbeelden. Leesmateriaal:
2020-11-06: Eerste uur en tweede uur
Normaliteit: Nietmytzki-vlak is niet normaal, Categoriestelling van Baire. Regulier plus aftelbare basis impliceert normaal. Leesmateriaal:
2020-11-10: Metrizeringsstelling van Urysohn
Normaliteit: Nietmytzki-vlak is niet normaal, Categoriestelling van Baire, Lemma van Urysohn. Regulier plus aftelbare basis impliceert metrizeerbaar. Leesmateriaal:
2020-11-17: Het eerste uur en het tweede uur
Over de radiale topologie in het vlak: deze is wel Hausdorff maar niet regulier (en daar is de Categoriestelling van Baire bij nodig). Leesmateriaal:
2020-11-19: Compactheid
De definitie van compactheid, voorbeelden, eenvoudige eigenschappen, compacte Haudorffruimten zijn normaal. Leesmateriaal:
2020-11-24: Convergentie van filters en compactheid
Definitie van filters en ultrafilters. Convergentie van filters, en samenhang met continuïteit en afsluiting. Karakterizering van compactheid met behulp van filters. Leesmateriaal:
2020-11-26: Ultrafilters, Keuzeaxioma
Compactheid en ultrafilters. De Ultrafilterstelling. Het KeuzeAxioma, de Welordeningsstelling en het Lemma van Zorn. Producttopologie voor twee factoren. Leesmateriaal:
2020-12-01: Producttopologie voor een product van twee ruimten
Bewijs dat de producttopologie de `juiste' eigenschappen heeft: continuïteit en convergentie versus coördinaatsgewijze continuïteit en convergentie. Het product van twee compacte ruimten is weer compact; een ruimte is compact desda elke projectie langs de ruimte een gesloten afbeelding is. De `lage' scheidingseigenschappen zijn productief; normaliteit niet. Leesmateriaal:
2020-12-03: De stelling van Tychonoff
De producttopologie voor willekeurig veel ruimten. De `lage' scheidingseigenschappen zijn productief; normaliteit niet. De stelling van Tychonoff. Bewijs dat die stelling equivalent is met het Keuzeaxioma. Leesmateriaal:
2020-12-08: De stelling van Arzelà en Ascoli, I
Een karakterisering van compactheid van verzamelingen continue functies. Deelverzamelingen van \(C(X,\mathbb{R})\) voor compacte \(X\). Leesmateriaal:
2020-12-10: De stelling van Arzelà en Ascoli, II
Nu voor lokaal compacte \(X\): de compact-open topologie en de topologie van uniforme convergentie op compacte verzamelingen. Toepassing: De Stelling van Montel over compactheid van verzamelingen analytische functies. Leesmateriaal:
K_dot_P_dot_Hart_at_TUDelft_dot_nl
Last modified: Thursday 10-12-2020 at 15:56:32 (CET)