HOVO 2024: Oneindig in de Wiskunde

De meeste practische informatie staat op de website van de HOVO Leiden.

Aanbevolen literatuur

Leon van den Broek en Arnout van Rooij: Blik op Oneindig. Zebrareeks 25, Epsilon-uitgaven (2007).
Een aardig boekje waar we in de cursus op voort zullen bouwen.
Lev Bukovský, Eva Coplakova, en Klaas Pieter Hart: Verzamelingen en van alles eromheen. Epsilon 96, Epsilon-uitgaven 2022.
Een inleiding in de Verzamelingenleer.
Verzamelingenleer
Een cursus Verzamelingenleer, gegeven in Leiden tussen 2007 en 2015
A Trip to Infinity
Een documentaire op Netflix. Hier komen zaken die we in de colleges besproken hebben ook aan de orde, maar iets losser uit de pols.
Arnout van Rooij: Analyse voor beginners Epsilon 6, Epsilon-uitgaven, vijfde druk uit 2020.
Een heel goed boek over de beginselen van de Analyse. Een rustige uitleg, met goede voorbeelden. De eerste acht hoofdstukken bieden verdieping over convergentie en sommatie van rijen.

Inhoud

10 april: Wat is Oneindig?
We gaan op zoek een wiskundige definitie van het begrip `oneindige verzameling', en dus tegelijkertijd van het begrip `eindige verzameling' want het éne is het tegengestelde van het andere: `oneindig' is `niet eindig', en `eindig' is `niet oneindig'. Het is nog niet zo eenvoudig een wiskundig bruikbare definitie te geven: zinnen waar woorden als `einde', `begrensd', enzovoort voorkomen moeten vermeden worden.
Materiaal:
17 april: Verschillende soorten oneindig
Galileo Galilei en Bernard Bolzano zagen dat oneindige verzamelingen echte deelverzamelingen konden hebben met `evenveel' elementen als de verzameling zelf, maar deden naar niet veel mee. Georg Cantor vatte de koe bij de horens en gaf een duidelijke definitie voor `evenveel elementen' in de context van oneindige verzamelingen en ontdekte dat de verzamelingen der natuurlijke en reële getallen niet `evenveel' elementen hebben. Dit was de geboorte van een nieuwe tak van wiskunde: de Verzamelingenleer.
Het is dit jaar 150 jaar geleden dat het artikel verscheen met daarin het bewijs dat er geen koppeling bestaat tussen de verzamelingen der natuurlijke en die der (positieve) reële getallen.
We bekijken de oorspronkelijke bewijzen van deze stelling, en verdere ontwikkelingen.
Materiaal:
24 april: Diagonaalargument en de Continuümhypothese
We gaan zien dat \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}^2\) even groot zijn en dat er geen grootste oneindigheid is.
Dan bekijken we een vraag die Cantor zichzelf stelde, en dacht op te kunnen lossen, over het vergelijken van deelverzamelingen van de reële rechte \(\mathbb{R}\). Hij dacht dat er slechts twee mogelijkheden waren voor oneindige deelverzamelingen: even groot als de verzameling der natuurlijke getallen\(\mathbb{N}\) of even groot als \(\mathbb{R}\).
Materiaal:
15 mei: \(\aleph\) en \(\infty\)
We ronden het werk van Cantor af met een bespreking van de bovenste drie symbolen in het logo van de cursus: \(\aleph_0\), \(\aleph_1\), en \(2^{\aleph_0}\). En we besluiten dat deel met de moderne formulering van de Continuümhypothese: \(2^{\aleph_0}=\aleph_1\).
Het symbool \(\infty\) werd (voorzover wij weten) voor het eerst door John Wallis gebruikt in De sectionibus conicis nova methodo expositis tractatus. Het is één van de minst begrepen symbolen in de wiskunde. We bekijken een paar van de vele interpretaties die \(\infty\) gekregen heeft en hoe men daar mee om kan gaan.
Materiaal:
22 mei: Oneindig veel getallen optellen
Hier komen de beide `oneindigheden' bij elkaar. In het begin van de Analyse probeerde men waarden aan oneindige sommen toe te kennen; dat gaf soms merkwaardige uitkomsten. In de 19de eeuw werd wat orde in de chaos geschept met preciese definities van de sommen en aanverwante uitdrukkingen.
Materiaal:
29 mei: \(\mathrm{e}\) en andere irrationale constanten
Veel bekende getallen als \(\pi\), \(\mathrm{e}\), \(\sqrt2\), \(\ldots\) zijn gedefinieerd als oneindige sommen. En die definities worden gebruikt om de irrationaliteit van die getallen aan te tonen.
Materiaal:

Extra leesmateriaal

Niet-meetbare verzamelingen

In de Scientific American van 18-04-2024 staat een stuk over niet-meetbare deelverzamelingen van \(\mathbb{R}\). Het stuk legt duidelijk uit wat het probleem is: aan elke deelverzameling van \(\mathbb{R}\) een reëel getal, de maat, toekennen. Hierbij moet aan een paar eisen worden voldaan: intervallen krijgen hun lengte als maat (de maat van \([a,b]\) is gelijk aan \(b-a\)), als een verzameling verschoven wordt verandert de maat niet, en maten tellen op als disjuncte verzamelingen verenigd worden. In 1905 gaf G. Vitali een voorbeeld van een deelverzameling van \(\mathbb{R}\) waar geen maat aan toegekend kan worden.

De Continuümhypothese geldt voor gesloten verzamelingen

Zoals tijdens het derde college verteld wist Cantor na veel werk te bewijzen dat voor gesloten deelverzamelingen van \(\mathbb{R}\) de Continuümhypothese geldig is, dat wil zeggen: als \(P\) een gesloten dan geldt dat \(P\) hetzij aftelbaar is, hetzij even groot als \(\mathbb{R}\). In deze aantekeningen heb ik Cantor's bewijs in modernere bewoordingen opgeschreven. Niet zozeer als extra leerstof (ook al is het een heel mooi argument) maar om een indruk te geven hoeveel nieuw materiaal Cantor moest ontwikkelen om het bewijs rond te krijgen; vrijwel alles wat in het bewijs gebruikt is is daar voor het eerst gebruikt. Op de laatste bladzijde staat een lijst van trefwoorden die alle noties beschrijven.

Cantor's laatste grote artikel

In 1895 en 1897 publiceerde Cantor, in twee delen, zijn laatste grote werk op het gebied van de verzamelingenleer. Hierin (her)ontwikkelde hij ab initio zijn theorie van kardinaal- en ordinaalgetallen en hun rekenkunde. Hiertoe moest hij ook het nodige bewijzen over lineair geordende en welgeordende verzamelingen.

In dit werk voerde Cantor ook de \(\aleph\)-notatie in voor kardinaalgetallen, met \(\aleph_0\) als kardinaalgetal van  \(\mathbb{N}\), en \(\aleph_1\) het kardinaalgetal van de verzameling der aftelbare ordinaalgetallen (Cantor noemde dit "de tweede getallenklasse", de "eerste getallenklasse" bestaat uit de eindige ordinaalgetallen). Verder noteerde hij het kardinaalgetal van \(\mathbb{R}\) als \(\mathfrak{o}\). Tegenwoordig noteren we het met de \(\mathfrak{c}\) van continüum.

K_dot_P_dot_Hart_at_TUDelft_dot_nl
Last modified: Friday 11-10-2024 at 20:34:21 (CEST)