HOVO 2025: Geschiedenis van het oplossen van Polynoomvergelijkingen

De meeste practische informatie staat op de website van de HOVO Leiden.

Aanbevolen literatuur

Martin Kindt en Henk Hietbrink: Het Avontuur dat Algebra heet. Zebrareeks 48, Epsilon-uitgaven (2017).: Een aardig boekje dat veel dingen aanstipt waar we in de cursus wat dieper op in zullen gaan.

Inhoud

1 april: Egypte en Mesopotamië

We bekijken aan de hand van voorbeelden hoe men in Egypte en Mesopotamië met vergelijkingen omging.
Materiaal:

De slides
In het aprilnummer van de Notices of the American Mathematical Society staat een artikel over het Rhindpapyrus waarin diep ingegaan wordt op opgave 51.
De wikipediapagina over de tabel voor \(2/n\) van het Rhindpapyrus
Een pagina waar het tablet VAT 8389 uitgebreid wordt behandeld.
Een pagina (hoofdstuk uit een boek) waar de kwadratische vergelijkingen van vandaag besproken worden.

8 april: Griekenland en China

Griekenland: vergelijkingen bij Euclides en Diophantus. China: enige losse voorbeelden.
Materiaal:

De slides: schermversie en printversie.
Het bewijs van Propositie 11 uit Boek II
Over het getalsysteem van de Grieken:
1. Een beschrijving en een uitbreiding door Archimedes
2. Archimedes gebruikt zijn systeem om het aantal zandkorrels in het heelal te overschatten
De Arithmetica van Diophantus.
1. On-line versie van de heruitgave door de zoon van Fermat.
  Opgave VIII in Boek II staat hier.
2. Engelse vertaling door T. L. Heath.
  Opgave VIII in Boek II staat op pagina 144.
Een wikipediapagina over de rekenborden in het verre Oosten.

15 april: India en de Islam

India: daar komt uiteindelijk ons getalsysteem vandaan. Islam: een langzame kentering, de meetkundige aanpak van de vergelijkingen werd losgelaten en de onbekenden waren gewoon getallen. Wel bleef de wiskundige onderbouwing van de methoden meetkundig. De derdegraadsvergelijking kwam naar voren en werd opgelost met behulp van kegelsneden. Een zuiver algebraïsche aanpak zou nog een paar eeuwen op zich laten wachten.
Materiaal:

De slides.
De afleidingen bij het probleem van Omar Khayyam
Jeanine Daems: Derdegraadsvergelijkingen oplossen met kegelsneden (NWD 2023)
- De slides
- Opgaven en oplossingen
Thomas De Vittori: The perfect compass
Eva Coplakova: Worteltrekken met de hand, Pythagoras 43 ( Juni 2004), 20–21.
Twee artikelen die het werk van Khayyam beschrijven: van Howard Eves en van A. R. Amir-Moéz

22 april: Doorbraak in Italië.

We bespreken het werk van Scipione del Ferro, Nicolo Tartaglia, en Gerolamo Cardano aan de oplossing van de derdegraadsvergelijking. En we geven een moderne afleiding van de oplosformules van de derde- en vierdegraadsvergelijkingen.
Materiaal:

De slides.
De wikipediapagina van Ars Magna, met links naar on-line versies.
Een virtuele rekenliniaal voor (onder meer) het oplossen van derde- en vierdegraadsvergelijkingen.
Het manual: in het Chinees en in het Engels.

29 april: Complexe getallen en nieuwe methoden.

We bespreken hoe Rafael Bombelli de complexe getallen bedacht en maken een begin met een beschrijving van het oplossen van polynoomvergelijkingen met behulp van symmetrische polynomen.
Materiaal:

De slides.
Over al-Tusi en de discriminant.
De eerste drie delen van L'Algebra van Rafael Bombelli
Delen IV en V van L'Algebra van Rafael Bombelli, met een inleiding.
De aequationum — recognitione et emendatione tractatus duo van Francois Viète
Invention nouvelle en l'algèbre van Albert Girard. De Hoofdstelling van de Algebra staat hier, onderaan de pagina. Op archive.org staat een wat beter leesbare uitgave uit 1884 (Leiden).

6 mei: De nieuwe aanpak en de stelling van Ruffini en Abel.

We zien hoe Lagrange de oplosformules voor de derde- en vierdegraadsvergelijkingen opnieuw afleidde met behulp van symmetrische functies.
We eindigen met een beschrijving van de belangrijke punten in Abel's bewijs dat er geen algemene wortelformule voor de oplossingen van vijfdegraadsvergelijkingen zijn.
Materiaal:

De slides.
Een bewijs van de Stelling van Cauchy over het aantal waarden.
De Verzamelde werken van Niels Henrik Abel Deel 1.
De korte versie van Abel's bewijs begint op pagina 28, de lange versie begint op pagina 66.
Voor wie liever Duits dan Frans leest: hier is de gepubliceerde versie van Abel's bewijs.
Memoire sur le Nombre des Valeurs qu'une Fonction peut acquérir, lorsque on y permute de toutes les manières possibles les quantités qu'elle renferne, het artikel van Cauchy over de mogelijke aantallen waarden van een functie onder permutaties van de argumenten.

Extra materiaal

Naar aanleiding van de discussie over de Gulden snede

Albert van der Schoot: Het is niet alles Goud wat er snijdt, Nieuw Archief voor Wiskunde 10 (2009) 203–207.
Twee artikelen (achter elkaar in Historia Mathematica 42 (2019)) die de term "Goldener Schnitt" terugvoeren tot 1789 en 1717.

In Our Time

Een paar afleveringen uit dit onvolprezen programma die genoemd zijn.

Passer en liniaal

De oude Griekse problemen over de verdubbeling van de kubus, de driedeling van de hoek, en de kwadratuur van de cirkel zijn in de 19de eeuw met behulp van de door Galois en zijn voorgangers ontwikkelde theorie negatief opgelost.
In het Zebra-boekje Met passer, liniaal, en neusislat van Ad Meskens en Paul Tytgat wordt de geschiedenis hiervan uitgelegd.

Euclides in Wonderland

Naar aanleiding van een discussie met een van de cursisten is hier een link naar Jaargang 27 van het blad Euclides. In het derde nummer staat de diesrede met de titel Euclides in Wonderland die Bottema als rector magnificus van de TH Delft uitsprak. Hij beargumenteert daar dat Wiskunde een spel is, en illustreert dat aan de hand van de driedeling, met passer en latje, van de hoek.

K_dot_P_dot_Hart_at_TUDelft_dot_nl

Last modified: Thursday 08-05-2025 at 11:57:05 (CEST)