HOVO 2025: Geschiedenis van het oplossen van vergelijkingen

De meeste practische informatie staat op de website van de HOVO Leiden.

Aanbevolen literatuur

Martin Kindt en Henk Hietbrink: Het Avontuur dat Algebra heet. Zebrareeks 48, Epsilon-uitgaven (2017).

Een aardig boekje dat veel dingen aanstipt waar we in de cursus wat dieper op in zullen gaan.

Inhoud

1 april: Egypte en Mesopotamië

We bekijken aan de hand van voorbeelden hoe men in Egypte en Mesopotamië met vergelijkingen omging.
Materiaal:

• De slides
• In het aprilnummer van de Notices of the American Mathematical Society staat een artikel over het Rhindpapyrus waarin diep ingegaan wordt op opgave 51.
• De wikipediapagina over de tabel voor \(2/n\) van het Rhindpapyrus
• Een pagina waar het tablet VAT 8389 uitgebreid wordt behandeld.
• Een pagina (hoofdstuk uit een boek) waar de kwadratische vergelijkingen van vandaag besproken worden.

8 april: Griekenland en China

Griekenland: vergelijkingen bij Euclides en Diophantus. China: enige losse voorbeelden.
Materiaal:

• De slides: schermversie en printversie.
• Het bewijs van Propositie 11 uit Boek II
• Over het getalsysteem van de Grieken:
  1. Een beschrijving en een uitbreiding door Archimedes
  2. Archimedes gebruikt zijn systeem om het aantal zandkorrels in het heelal te overschatten
• De Arithmetica van Diophantus.
  1. On-line versie van de heruitgave door de zoon van Fermat.
     Opgave VIII in Boek II staat hier.
  2. Engelse vertaling door T. L. Heath.
     Opgave VIII in Boek II staat op pagina 144.
• Een wikipediapagina over de rekenborden in het verre Oosten.
• Albert van der Schoot: Het is niet alles Goud wat er snijdt, Nieuw Archief voor Wiskunde 10 (2009) 203–207.
• Twee artikelen (achter elkaar in Historia Mathematica 42 (2019)) die de term "Goldener Schnitt" terugvoeren tot 1789 en 1717.

15 april: India en de Islam

India: daar komt uiteindelijk ons getalsysteem vandaan. Islam: een langzame kentering, de meetkundige aanpak van de vergelijkingen werd losgelaten en de onbekenden waren gewoon getallen. Wel bleef de wiskundige onderbouwing van de methoden meetkundig. De derdegraadsvergelijking kwam naar voren en opgelost met behulp van kegelsneden. En zuiver algebraïsche aanpak zou nog een paar eeuwen op zich laten wachten.
Materiaal:

• De slides.
• De afleidingen bij het probleem van Omar Khayyam
• Jeanine Daems: Derdegraadsvergelijkingen oplossen met kegelsneden (NWD 2023)
  • De slides
  • Opgaven en oplossingen
• Thomas De Vittori: The perfect compass
• Eva Coplakova: Worteltrekken met de hand, Pythagoras 43 ( Juni 2004), 20–21.
• Twee artikelen die het werk van Khayyam beschrijven: van Howard Eves en van A. R. Amir-Moéz
• De aflevering van In Our Time over het Antikythera Mechaniek.

22 april: Doorbraak in Italië.

We bespreken het werk van Scipione del Ferro, Nicolo Tartaglia, en Gerolamo Cardano aan de oplossing van de derdegraadsvergelijking. En we geven een moderne afleiding van de oplosformules van de derde- en vierdegraadsvergelijkingen.
Materiaal:

• De slides.
• De wikipediapagina van Ars Magna, met links naar on-line versies.
• Een virtuele rekenliniaal voor (onder meer) het oplossen van derde- en vierdegraadsvergelijkingen.
• Het manual: in het Chinees en in het Engels.

Wat nog komt

Complexe getallen, door Raphael Bombelli.

Veel onderzoek naar de relatie tussen oplossingen en coëfficiënten: Newton, Lagrange, Vandermonde. Nieuwe, systematische, afleidingen van de oplosformules.

Ruffini en Abel: geen formule voor de vijfdegraadsvergelijking.
Galois: precieze beschrijving van wanneer een polynoomvergelijking met behulp van optellen, vermenigvuldigen, en worteltrekken op te lossen was.

Toegift: wat kunnen we wel en niet met alleen passer en latje?