AM3590: Topologie (2021-2022)
Op de dinsdagen on-line, op de vrijdagen in 3D.
De topologie van de Euclidische ruimten \(\mathbb{R}^n\)
- 2021-08-31: problemen aan het eind van de 19de eeuw
- Het eerste college, over de bijectie die Cantor maakte tussen het
eenheidsinterval en het eenheidsvierkant en Peano's
vlakvullende kromme.
Materiaal
- 2021-09-03: over homeomorfismen
- Over homeomorfismen en hoe je kunt aantonen dat ruimten al dan niet
homeomorf zijn; de definite van het begrip waar het allemaal om draait:
de topologische dimensie \(\dim\).
Materiaal
- 2021-09-07: over de dimensie van \(\mathbb{R}^n\)
- Over nuldimensionale ruimten: \(\dim\mathbb{P}=0\).
De eerste ongelijkheden op weg naar het hoofdresultaat:
\(\dim[0,1]^n\le\dim\mathbb{R}^n\le n\).
Materiaal
- 2021-09-10: op weg naar \(\dim[0,1]^n\ge n\)
- Het is echt nodig te bewijzen dat de paren zijkanten van de \(n\)-kubus
laten zien dat \(\dim[0,1]^n\ge n\).
Drie equivalente beweringen:
- \(\dim[0,1]^n\ge n\)
- Dekpuntstelling van Brouwer
- de Geen-retractiestelling
Op weg naar de Dekpuntstelling, simplices.
Materiaal
- 2021-09-14: barycentrische onderverdelingen
- Simplices, barycentrische coördinaten, barycentrische onderverdeling,
allemaal gereedschappen voor het bewijs van de Dekpuntstelling van
Brouwer.
Materiaal
- 2021-09-17: meer over barycentrische onderverdelingen
- Iets over twee oude sommen.
Verdere eigenschappen van barycentrische onderverdelingen.
Elk \(k-1\)-simplex is zijkant van precies één of precies
twee \(k\)-simplices.
De maaswijdte van \(\mathcal{P}\) is ten hoogste
\(\frac k{k+1}\operatorname{diam}S\).
Het bewijs van de dekpuntstelling op één belangrijke
stap na.
Materiaal
- 2021-09-21: Lemma van Sperner
- De laatste stap in het bewijs van de Dekpuntstelling: een combinatorisch
lemma over labelingen van de hoekpunten van simplices.
Materiaal
- 2021-09-24: over Invariantie van Gebied
- Een bewijs, in ieder geval voor \(n=1\) en \(n=2\) dat voor
\(A\subseteq\mathbb{R}^n\) geldt:
\(\dim A=n\) dan en slechts dan als \(\operatorname{int}A\neq\emptyset\).
Hierbij kwam ook een stelling van Brouwer aan bod:
als \(D\) een aftelbare en dichte deelverzameling van \(\mathbb{R}^n\) is
dan bestaat een homeomorfisme van \(\mathbb{R}^n\)
naar zichzelf zó dat \(h[D]=\mathbb{Q}^n\).
Materiaal
Algemene topologie
Inleiding
- 2021-10-05: Topologische ruimten
- De definitie van het begrip topologische ruimte en enige afgeleide
begrippen: open verzameling, gesloten verzameling, afsluiting,
inwendige, rand, afgeleide verzameling, omgeving, dichte verzameling.
Allerlei voorbeelden van topologische ruimten.
Materiaal
- 2021-10-08: Topologieën maken
- Opmerkingen over het huiswerk.
Topologieën maken door middel van een basis en door middel van
lokale bases.
Drie belangrijke voorbeelden: Sorgenfrey-lijn, het Lexicografisch
Geordende Vierkant, en het Niemytzki-vlak.
Materiaal
- 2021-10-12: Convergentie en continuïteit
- Convergentie van rijen, subbases, continuïteit in een punt,
continuïteit op een ruimte, open en gesloten afbeeldingen.
Materiaal
Scheidingseigenschappen
- 2021-10-15: Quotiëntafbeeldingen en Scheidingseigenschappen
- Quotiëntafbeeldingen en -constructies.
Scheidingseigenschappen: T0, T1, en T2
of Hausdorff.
De Hausdorff-eigenschap brengt ons iets dichter bij de Analyse.
Materiaal
- 2021-10-19: Regulariteit en normaliteit
- Nog twee scheidingseigenschappen: T3 en T4;
en daarvan afgeleid: regulier (T3 plus T0) en
normaal (T4 plus T1).
Karakteriseringen,
implicaties (normaal → regulier → Hausdorff),
en voorbeelden.
Materiaal
- 2021-10-22: Werkcollege/vragenuur
- Geen opnamen.
Wat voorbeelden en bewijzen besproken.
Wat tips voor het bestuderen van het vak.
In het begin de definities woord voor woord lezen en overschrijven
(klinkt raar maar door het overschrijven lees je aandachtiger;
veel tekenaars beginnen met overtrekken/natekenen van ander werk,
om de vingers te oefenen en om goed te kijken;
sommige auteurs schrijven stukken literatuur over, om te oefenen en
om aandachtig te lezen).
Bij veel opgaven en bewijzen helpt het om op te schrijven wat de
definities zijn en wat bewezen moet worden.
Dan heb je iets om naar te kijken.
- 2021-10-26: Drie mooie stellingen
- Het Lemma van Urysohn;
elke T3-ruimte met een aftelbare basis is een
T4-ruimte;
elke reguliere ruimte met een aftelbare basis is metrizeerbaar
(metrizeringssteling van Urysohn).
Materiaal
- 2021-10-29: Twee mooie stellingen
- De stelling van Tietze-Urysohn over het uitbreiden van continue
reëelwaardige functies.
De Categoriestelling van Baire en toepassingen: de radiale topologie
in het vlak is niet regulier.
Materiaal
Compactheid
- 2021-11-09: Compactheid en convergentie
- Definitie van compactheid met voorbeelden en de fundamentele
stellingen over gesloten deelruimten en continue beelden.
Karakterizeringen in termen van gesloten verzamelingen.
Compact plus Hausdorff impliceert normaal.
Filters: definitie, voorbeelden en convergentie.
Deze doet wat we willen: afsluiting en continuïteit karakterizeren.
Materiaal
- 2021-11-12: Compactheid, convergentie, en wat Verzamelingenleer
- Karakterizering van compactheid in termen van filters en ultrafilters.
De Ultrafilterstelling en drie belangrijke uitspraken uit de
verzamelingenleer: het Keuzeaxioma, de Welordeningsstelling, en
het Lemma van Zorn.
Materiaal
- 2021-11-16: Producten van topologische ruimten
- Definitie van de producttopologie, eerst voor twee, daarna voor
willekeurig veel ruimten.
Karakterizering: de enige topologie die de projecties continu maakt
en zorgt dat continuïteit van een afbeelding naar een product
equivalent is met de continuïteit van alle coördinaatfuncties.
Convergentie van een filter in een product is hetzelfde als de
convergentie van de projecties.
Producten zijn compact dan en slechts dan als alle factoren compact zijn
(Stelling van Tychonoff).
De eigenschappen T0, T1, T2,
en T3 zijn productief.
Het kwadraat van de Sorgenfreylijn is niet normaal.
Materiaal
- 2021-11-19: Over het huiswerk; compactheid; volledige regulariteit
- Opmerkingen over het huiswerk.
Karakterizering van compactheid in termen van bases en subbases
(het Subbasislemma van Alexander).
Op weg naar een karakterizering van de deelruimten van compacte
Hausdorffruimten: volledig reguliere ruimten.
Materiaal
- 2021-11-23: Compactificatie en een voorbeeld
- Elke volledig reguliere ruimte is deelruimte van een compact
Hausdorffruimte.
De Čech-Stonecompactificatie; \(\beta\mathbb{N}\) heeft geen
niet-triviale convergente rijen.
Een reguliere ruimte die niet volledig regulier is.
Materiaal
- 2021-11-26: Toepassing van compactheid en meer over \(\beta\mathbb{N}\)
- Toepassing van compactheid: het kleuringsgetal van (oneindige) grafen
hangt af van het kleuringsgetal van de eindige deelgrafen
(De Bruijn en Erdős).
Toepassing hiervan: het Lemma van de Drie Verzamelingen.
Meer over \(\beta\mathbb{N}\): je kunt hem zien als de ruimte van
alle ultrafilters op \(\mathbb{N}\).
Verschillen tussen \(\beta\mathbb{N}\) en
\(\mathbb{N}^*=\beta\mathbb{N}\setminus\mathbb{N}\):
de laatste is niet separabel en ook niet extreem onsamenhangend.
Materiaal
Compactheid in Functieruimten
- 2021-11-30: Compactheid in functieruimten I
- Karakterizering van compacte deelverzamelingen van \(C(X,\mathbb{R})\)
als \(X\) compact is, de stelling van Arzelà en Ascoli.
Materiaal
- 2021-12-03: Compactheid in functieruimten II
- De stelling van Arzelà en Ascoli.
Karakterizering van compacte deelverzamelingen van \(C(X,\mathbb{R})\)
als \(X\) lokaal compact is en waarbij \(C(X,\mathbb{R})\)
de compact-open topologie draagt.
Materiaal
- Huiswerk
- Voor tijdens de collegevrije week.
- 2021-12-14: Compactheid in functieruimten III
- De stellingen van Peano en Montel:
- elk BeginWaardeProbleem van de vorm "\(y'=f(x,y)\) en
\(y(x_0)=y_0\)", met \(f(x,y)\) continu heeft een oplossing
- elke lokaal begrensde familie analytische functies is normaal
Materiaal
- 2021-12-17: Compactheid in functieruimten IV
- De afbeeldingsstelling van Riemann.
Materiaal
Toegift: de Banach-Tarskiparadox
- 2021-12-21: De stelling van Banach en Tarski
- Elke bol in \(\mathbb{R}^3\) kan verdeeld worden in eindig veel stukken
die samengevoegd kunnen worden tot twee bollen met dezelfde straal
als de originele.
Gebaseerd op de "paradox van Hausdorff".
Materiaal
- 2021-12-24: De paradox van Hausdorff
- Een verdeling van een boloppervlak die laat zien dat "de helft
van het oppervlak congruent kan zijn met één-derde
deel daarvan".
Materiaal
K_dot_P_dot_Hart_at_TUDelft_dot_nl
Last modified: Friday 24-12-2021 at 14:55:25 (CET)